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剪板机有限元法的基本理论


发布时间:2018-06-04 07:08:57  点击次数:164  来源:江海集团信息部
 

 有限元法的基本理论

 
有限元法是当今工程上应用十分广泛的数值计算方法,它是基于现代计算机
 
技术,来求取复杂微分方程近似解或最优解的一种十分有效的方法,也是产品数
 
字化科技的重要理论基础。有限元法在航空领域最先得到应用,同时随着计算机
 
技术的普及,在机械学科有限元法被广泛应用于产品设计中,并逐渐由固体力学
 
领域向其他更多领域快速发展[31]。
 
在理论分析中,结构的离散化是有限元法的中心思路。结构离散的内容是网
 
格划分,即把结构按一定规则分割成有限单元。除此之外,边界处理也是结构离
 
散的核心内容,边界处理的关键在于节点载荷和节点约束,主要是将模型上的作
 
用载荷和边界约束按一定的方式处理成作用在节点上的载荷和约束。其中要求:
 
离散之后的结构需要与原有的结构保持相同的形状,不可存有太大差别。通过这
 
种方法,可以将复杂问题转化为简单问题进行分析[32]。
 
空间弹性力学的基本方程[34]:
 
对于一个弹性物体来说,在表面力P和体积力q的作用下,其内部空间任
 
意一点的位移可表示成f 。
 
{ p}  { px , py , pz }T (3.1)
{q}  {qx , qy , qz }T (3.2)
{ f }  {u, v, w}T (3.3)
 
式中: Px , Py , Pz 为三维坐标下的弹性体表面力; qx , qy , qz 为三维坐标下的弹性体体积力; u , v , w 为位移分量[8]。
 
弹性体内部的应力一般由正应力 x , y , z 和剪应力 xy , yz , xz 这六个
 
应力分量来表示。应力向量为应力分量的矩阵形式,可表示为:
 
{}  [ x , y , z , xy , yz , xz ]T (3.4)
应变向量为应变分量的矩阵形式,可表示为:
{}  [x ,  y ,z ,  xy ,  yz ,  xz ]T (3.5)
 
弹性问题的矩阵方程一般由四个基本方程构成,第一个基本方程为边界条件
 
方程,第二个基本方程为平衡方程,第三个基本方程为几何方程,最后一个基本
 
方程为弹性本构方程。
 
(1)边界条件
 
有一部分边界存在已知的位移,这部分边界称作给定位移边界 su 。这两种边界组合成弹性体的边界,即:
 
s  s  su (3.6)
弹性体中存在着表面力的边界,其边界条件为:
px    x l  xy m  xz n 
(3.7)
py    xyl  y m  xy n
pz    xzl  yz m  z n 
式中 l, m, n 分别为边界外法线和坐标系三个方向夹角的余弦。
 
对于一个弹性体,假如已知边界约束及受力,可计算出各点位移、应变、应力。
 
(2)平衡方程
 
平衡方程
 
矩阵形式
 
微分算子矩阵 x 
(3)几何方程
 
在线性弹性问题中,位移和应变之间的关系 z y z
几何方程
(4)弹性本构方程
 
在弹性力学问题中,弹性本构方程
 
 D 为弹性系数,v 为泊松比, E 为弹性模量,弹性系数是由泊松比与弹性模量确定。
 

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